Могу ли я эксплуатировать авто на болгарских номерах в России?

Если вы имеете вид на жительство в Болгарии - то да. Можете оформить временный ввоз автомобиля, вне зависимости, в личной ли он вашей собственности (болгары в этом случае выдают синие номера, очень похожие визуально на российские полицейские), или (как чаще делают наши соплеменники) он оформлен на юр.лицо.
Если вы резидент Таможенного союза (как гражданин Беларуси) - то нет. Придется растаможивать, или сажать на границе нерезидента за руль (имеющего ген.доверенность!), но в таком случае эксплуатировать в России без его присутсвия будет противозаконно