В течении какого времени они должны произвести осмотр машины и выявить гарантийный это случай или нет?

Добрый день. Давайте по порядку. Что случилось с автомобилем? Ремонт кузовной или слесарный? Доставили сами или привезли на эвакуаторе? Приехали по записи или нет? Что за техцентр? Официальный дилер? И 10 числа какого месяца? Мая? Т.е. 3 дня всего прошло? Пока это в общем нормально в любом случае, чтобы там у Вас не было.
Сроки гарантийного никак и никем не обговариваются. Единственный закон, которым тут Вы можете руководствоваться, что если суммарное время нахождение автомобиля на гарантийном ремонте превышает 45 дней, Вы можете вернуть автомобиль.

Машина нагрелась до 130 градусов. Антифриз уходит в двигатель, и на ТО выяснили не рабочие состояние заднего моста. Доставил сам. До этого машина перегревалась, загнал на ТО, но ничего не сделали. Спустя 3 дня вновь нагрелась, приехал не по записи. 10 мая.

Дилер официальный.

Ясно. Значит автомобиль стоит в очереди на диагностику. Если ремонт автомобиля будет признан гарантийным, то ремонт для Вас будет выполняться бесплатно, и Вы на руки вообще никаких документов не получите, тем более никаких печатей. Можно попросить акт выполненных работ по итогам, но и в этом дилер может отказать. В акте приёма-передаче указана только дата приёма автомобиля и ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ срок готовности. Случай у Вас может быть сложный, может потребоваться дополнительное согласование с производителем, углубленная диагностика. На данном этапе рекомендую просто ждать и монотонно звонить этому дилеру, просить руководство. Это пожалуй единственное, что может как-то ускорить процесс.

В акте приеме передачи указано причины: уходит антифриз, не работает задний мост, и что то связанное с двигателем. Тобишь на устранение этих 3 причин им дается 45 дней, верно? Касательно согласованности, так и есть, ремонт сложный. Они сказали, что потребуется согласование с производителем. Получается мне остается лишь ждать авто, а по истечению 45 дней требовать неустойку? И еще вопрос, обязаны ли они предоставить авто на замену в случае если признают ремонт гарантийным?

Нет, дилер предоставлять подменный автомобиль не обязан. Это делается в исключительных случаях в целях сохранения лояльности клиента (если она важна). Но Вам никто не мешает у них это уточнить. И не обязательно ждать именно 45 дней, ремонт наверняка сделают раньше. Просто, еще раз, самое действенное, каждый день звонить и спрашивать, "почему так долго, что там с моим автомобилем и т.д."
Там на самом деле не всё так быстро.. После выяснения причин всех жалоб, будут отправлены запросы в представительство. Они могут назначить дополнительные проверки, которые также потребуют какого-то времени. Плюс деталей необходимых наверняка не будет в наличии, потребуется их ждать, это еще какое-то время.. Это всё при условии, что диагностику сделают правильно.. Если дилер Вам не сообщает, на каком этапе сейчас проходит согласование, это еще не значит, что автомобилем не занимаются.

После 45-ти дней я могу потребовать новое авто, верно? Ну мы сами звонили на 2-й день, нам сказали что они даже не подходили к авто.

Дилер может вообще не быть виноват, вполне возможно, что предварительный результат диагностики у них уже есть, но при сложном случае дилер обратился в службу тех.поддержки производителя и в гарантийный отдел и теперь ждут результатов и указаний. Брать ответственность при предстоящем затратном ремонте дилер просто боится, вы же откажетесь платить за ремонт по гарантии, так и представительство производителя может заартачиться, сказать, что дилер нарушил некие правила, вот теперь дилер и не хочет ничего делать без прямых указаний.