Добрый день. Шлицы обрезает очень редко, как правило такая ситуация должна быть вызвана общим износом КПП, или использованием ее в спортивно режиме в продолжительном времени. 
Если передачи не включаются, стоит шум в коробке передач, тогда нужно осматривать сцепление, троса выбора и включения передач, механизм выбора передач. 
Если с ними все в порядке, тогда далее разбирать коробку и ремонтировать ее.
                                    
                                                    Херсон,                                                                            Skoda                            Octavia