Доброго дня! и с наступающим Вас новым годом! По описанию, проблема похожа на изношенный диск сцепления, и пробуксовывает не коробка а именно он. При движении в горку, можно почувствовать пробуксовку более четко. Легение неисправности - замена ведомого диска сцепления, после вскрытия сцепления, может оказаться что необходимо менять что то еще. например выжимной подшипник
Санкт-Петербург, Hyundai Getz