Добрый день, уважаемый автовладелец!
Сложно сказать почему авто так себя ведет, и при переключении на драйв глохнет. Это может быть вызвано неправильной работой как самой коробки так и систем управления двигателя.
Пробуйте заменить датчик температуры охлаждающей жидкости, так как все указывает на его поломку(увеличение оборотов, отказ запуска на горячую). Если ничего не изменится, тогда уже нужна хоть какая-то диагностика для проверки электрики.
Херсон, Skoda Octavia