Есть еще такое предположение, что скапливается и замерзает вода в крышке-ванночке внизу корпуса коробки. Эта ванночка сделана для того, что бы управляющий передачами вал туда опускался. Полное опускание как раз и нужно для включения задней. Если там лед, то вал не опускается и передача задняя не включается. А судя по описанию Вашего вопроса такое может быть, т.к. это происходит только утром, а после прогрева все нормально. Во общем проверьте на яме наличие льда и удалите, он может там появиться после мойки авто или после сильного дождя.
Балаково, LADA (ВАЗ) 2108