Скорее всего причина в резинках сайлентблоков, изношены, попробуйте их заменить. Еще как вариант - снимите защиту картера и открутите втулки стабилизатора поперечной устойчивости, смажьте смазкой не разъедающей резину, соберите.
Балаково, LADA (ВАЗ) 2108