Здравствуйте, судя по описанию проблемы дело действительно может быть в нарушении электроцепи топливного насоса, это либо перетертая проводка, либо плохой контакт в разъеме, либо "умирает" сам насос или забилась его сеточка. Если бы сгорело реле, то Вы бы вообще не завели ДВС, поэтому для начала стоит проверить выше перечисленное. Также может глушить работу насоса неисправная противоугонная охранная система.
Балаково, LADA (ВАЗ) 2108