При попытке завести ASX (1.6 механика 2012г.в. американец, эксплуатация с октября 2013, пробег 15560), периодически глюк: после включения зажигания, слышу как срабатывает бензонасос, но двигатель не заводится; после нескольких попыток заводится (также после сброса минусовой клемы)

Если не работает стартер это:

1) - плохой\разряженный аккумулятор (не Ваш случай, но вдруг есть на него подозрения)

2) - проблема с управляющим реле стартера. Если уже была проблема с сигнализацией, то это самое вероятное направление.
В сигнализациях есть дополнительное реле разрывающее цепь запуска двигателя(физически - провод от замка зажигания к управляющему реле стартера), т.е. при поставке на охрану реле размыкает цепь, при снятии замыкает. Может вновь барахлить это реле, особенно если через реле подключили не в управляющий провод, а в силовой - от управляющего реле СТАРТЕРА к самому СТАРТЕРУ. В таком случае через контакты реле при запуске идут БОЛЬШИЕ токи, а если реле не рассчитано на них - контакты подгорают - машина заводится через раз, такая же ситуация, если у УПРАВЛЯЮЩЕГО реле стартера погорели контакты.
3) - износились щетки на стартере - если все же это щетки, то в ближайшее время стартер вообще перестанет работать - данную проблему легко определить при повороте ключа должно щелкать втягивающее реле на стартере. Но поскольку об этом в вопросе не упомянуто, то вероятная причина " 2)" - несправно реле в блоке сигнализации или управляющие реле стартера или проблема в проводке в данной цепи. Первое очевидное решение - найти блок сигнализации и соединить провода подходящие к клемам реле блокировки запуска двигателя между собой накоротко(в инструкции к сигнализации обычно все доходчиво нарисовано). Если проблема осталась - нужно смотреть управляющее реле стартера. Если Вы в своих силах не уверены - обращайтесь к грамотному автоэлектрику.

Спасибо огромное Василий! Очень доходчиво всё объяснили; поеду вновь к дилеру (Новосибирск, Макс Моторс), т.к. авто на гарантии.