Почему на Mazda 6 во время движения при переключении на нейтраль двигатель не держит холостые обороты?

Самая распространенная причина - загрязнение дроссельной заслонки. На Вашем авто этот узел электронный, т.е. управляется с помощью команд ЭБУ(мозгов), а физически сервоприводом. При загрязнении заслонка заклинивает и не своевременно открывается\закрывается по команде ЭБУ - двигатель глохнет. Для промывки лучше обратиться в сервис, где узел промоют, смажут сервопривод, и проведут АДАПТАЦИЮ, чтобы машина работала нормально сразу же после процедуры. Можно все сделать и самому. Правда процедура адаптации может занять некоторое время, пока ЭБУ не привыкнет к новым параметрам узла. Процедуру адаптации можно ускорить используя бесплатное ПО Forsacan и адаптер ELM327 для подключения к диагностическому разъему авто.

Еще одной причиной может быть нештатный подсос воздуха в системе смесеобразования. Возможно, под нагрузкой силовой агрегат смещается и где-то образуется подсос через трещину, неплотную посадку воздушных(вакуумных) шлангов. Послушайте, если ли шипение в салоне в районе педали тормоза.
В сервисах такие места ищут с помощью дымогенератора.

Шланг ВУТ, гофра от воздушного фильтра к дроссельной заслонке. Также подсос может быть из-за прокладок впускного коллектора, но тут только дымогенератор гарантировано покажет - есть там что или нет.
Стоит посмотреть шланг вентиляции картера, шланги системы изменения геометрии впускного коллектора, шланг системы ЕГР, шланг продувки абсорбера(см схему).