Проверяйте исправность замка зажигания, он явно размыкает цепи, не нужные при прокрутке стартера, раз радио выключается, но это только часть функций замка- кроме цепей питания бортового электрооборудования он должен давать сигнал на включение зажигания и на реле стартера. Зажигание включается, раз с толкача мотор заводится. Остаётся цепь управления стартера. Это лёгкая задача для любого автоэлектрика.