Здравствуйте!
В первую очередь проверьте реле. Тестером не обязательно - возьмите лампочку (если владеете паяльником) и патрон к ней (если не владеете), присоедините два провода. Один соедините с корпусом а вторым проверяйте наличие напряжения. При включении зажигания должно включаться главное реле и реле бензонасоса. На обмотку реле стартера (если есть) должен приходить минус.
Плесень в блоке управления двигателем это очень плохо, не факт что он такое переживет.
Если напряжение на реле есть, а до бензонасоса "не доходит" то проблема может быть в повреждении провода. Поднимите коврик, ковролин и осмотрите жгут. Иногда видны зеленые потеки в месте повреждения.
Мытищи, LADA (ВАЗ) 2120