Здравствуйте, Дмитрий!
Сложно что-то конкретное сказать без осмотра авто.
Первое о чем мне говорят описываемые Вами признаки - заклинивание и поломка зубьев ведомой шестерни. Точно это будет понятно после разборки редуктора привода дворников.
В этом случае(в случае заклинивания ведомой шестерни) моторчик дворника будет работать до победного конца - пока не сработает контакт отсечки цикла( а он не сработает - т.к. находится на самой шестерне). Но выключенное зажигание однозначно должно прервать подачу энергии к моторчику. Если он работает(можно просто послушать) - значит где-то есть замыкание проводки. Ищите его или за коробкой предохранителей в салоне или в контактной группе замка зажигания.
Если поломана шестерня - придется приобретать новый мотор-редуктор для дворников. Саму шестерню найти очень сложно.
Санкт-Петербург, Hyundai Getz