Здравствуйте, судя по описанию у вас проблема с подшипником первичного вала коробки, причем данная проблема отслеживается на вашей модели достаточно часто,
дилер чаще всего отказывается признавать дефект,
поступают в этом случае обычно следующим образом -
машину оставляют на ночь у официалов и с утра при мастере заводят машину и главное: при наступлении тепла обычно шум уходит так что добиваться замены агрегата лучше сразу,
чтобы была возможность доказать.
Барнаул, Toyota Corolla