Да, важно состояние разъема на топливном насосе, там частенько подгорают контакты. А своим путем современный автомобиль диагностировать довольно сложно. Как минимум, нужны коды ошибок, может что-то блокирует насос при запуске, либо проверить состояние предохранителя, находится в салоне, в ногах пассажира. Схема указана на крышке блока.
Mazda 3