Здравствуйте. По всей видимости проблема тут не одна. Если не работает система зарядки, в частности генератор не выдаёт необходимое напряжение, то понятно дело АКБ сядет, что у Вас и произошло. Стартер к системе зарядки отношения не имеет, если только объединен одним силовым проводом с генератором и АКБ. Этот провод кстати стоит проверить в первую очередь. Но помимо всего прочего, стартер и сам мог выйти из строя. Сигнализация тут вообще стоит "стороной", и скорее всего просто дала сбой из-за севшего АКБ. Она кстати нештатная, насколько я понимаю? И какая именно?
В общем прежде всего проверяйте проводку, необходимо восстановить работу системы зарядки, смотрите силовой провод и питание на стартер. Когда всё это будет работать, можно разбираться с сигнализацией.
Mazda 3