Здравствуйте, значит ищите проблему в замке зажигания, скорее всего его придется поменять, можно попробовать снять и разобрать, посмотреть контакты, почистить их, но это не всегда помогает. Точнее можно определить мультиметром, замерив напряжение, от стартера до реле, от реле до замка зажигания, если дело в не замке, то может проводка повредилась. Еще попробуйте зачистить клеммы стартера, они тоже иногда окисляются.
Балаково, LADA (ВАЗ) 2108